где Vn обозначает проекцию скорости на единичный вектор нормали к поверхности .

Градиентом называется векторная функция скаляра:

. (1.5)

Ротор скорости (вихрь) определяется формулой:

, (1.6)

а дивергенция скорости:

. (1.7)

Циркуляцией скорости по замкнутому контуру L с определенным направлением обхода называется криволинейный интеграл: . (1.8)

Известные теоремы векторных полей [4] применимы и к полю скоростей. Теорема Стокса:

(1.9)

справедлива при ориентации обхода контура L и нормали к натянутой на него поверхности по правилу правого винта, а теорема Остроградского-Гаусса:

(1.10)

при условии, что замкнутая поверхность ограничивает объем W.

Полную производную по времени от скаляра A(,t) можно определить по известной [4] формуле: (1.11)

Производную от интеграла по произвольному подвижному объему W, где от t зависит не только подынтегральная функция, но и объем, вычислим с помощью определения производной:

В последнем пределе W'–W образуется сдвигом элементарных площадок dS поверхности S, ограничивающей W, на расстояние VndS. Кроме того, при Dt ® 0: f(,t+Dt) ® f(,t) и деформированная поверхность S¢ ® S, поэтому предел принимает значение (сравните с (1.4)) или по теореме Остроградского-Гаусса (1.10). Откуда в силу уравнения (1.11):

(1.12)

Вектор ¹ 0 тоже можно рассматривать, как поле вектора ротора скорости (,t) – вихревое поле. Непосредственной проверкой легко убедиться, что всегда div = 0. Отсюда по теореме Остроградского-Гаусса следует, что поток ротора скорости сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю: . (1.13)

В вихревом поле по аналогии с полем скоростей выделяют вихревую линию: (1.14)

и вихревую трубку. Так как через боковую поверхность вихревой трубки по определению нет потока ротора скорости, то из (1.13) вытекает постоянство такого потока через любое ее поперечное сечение (первая кинематическая теорема Гельмгольца о вихрях). Эта величина называется интенсивностью вихревой трубки. Согласно теореме Стокса (1.9) она равна циркуляции скорости по контуру, образующему вихревую трубку: . (1.15)